已知a,b,c满足a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0(a,b,c都是正数),则a,b,c之间有什么样的大小关系

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
两端乘2
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
a^2 - 2ab + b^2 + b^2 -2bc + c^2 + c^2 -2ac + a^2 = 0
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0
a-b = 0
b-c = 0
c-a = 0
所以 a = b =c

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)]/2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
因为(a-b)^2≥0,(b-c)^2≥0,(c-a)^2≥0
且(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(c-a)^2=0
所以a=b=c

因为a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,
所以2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0,
所以(a^2+b^2-2ab)+(a^2+c^2-2ac)+(b^2+c^2-2bc)=0,
所以(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0,
因为(a-b)^2≥0,(a-c)^2≥0,(b-c)^2≥0,
所以(a-b)^2=0,(a-c)^2=0,(b-c)^2=0,
所以a-b=0,a-c=0,b-c=0,
所以a=b=c.

由a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
得2（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca）=0
即（a-b)^2+（a-c)^2+（b-c)^2=0
推出a=b=c

a=b=c
因为（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)所以（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2=0，所以a-b=0，b-c=0，c-a=0，即a=b=c

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca